値域・領域シリーズ part 2

今回は，パラメータが2個に増えた場合の問題に，順像法で取り組みましょう．

解答はこちら

\(x\,\)をある実数に固定して，\(y\,\)を実数全体で動かすときの\(\,z\,\)の値域を調べると，

\(e^{-x^2}>0\,\)より，

$$-e^{-x^2} \leq z \leq e^{-x^2} \,\,\,\cdots ①$$

ここで\(\,f(x)=e^{-x^2}\,\)とおくと，\(f'(x)=-2xe^{-x^2}\,\)より，

\(f'(x)=0\,\)となるのは，\(x=0\,\)．増減表は，

$$x$$	$$\cdots$$	$$0$$	$$\cdots$$
$$f'(x)$$	$$+$$	$$0$$	$$-$$
$$f(x)$$	$$\nearrow$$	$$1$$	$$\searrow$$

また極限は，

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=0,\,\lim_{x\to\infty}f(x)=0$$

よって，①を満たす\(\,z\,\)の範囲は，

\(z\,\)の値域は，\(-1\leq z\leq 1\)

今回の例題では，パラメータは\(\,x,y\,\)の２個，求めたい変数は\(\,z\,\)です．

イメージとしては，\(x,y\,\)という２個のパラメータを，\(f(x,y)=e^{-x^2}\,\sin y\,\)という関数を用いて，\(z\,\)という求めたい変数に写していると考えられます．

しかし，高校数学の範囲では，二変数関数を扱わないので，値域を求めるにはひと工夫する必要があります．

ここで用いるのが，固定という考え方です．

固定というのは，ある変数をいったん定数とみなすことで変数の数を減らす考え方です．

例に今回の問題では，まず\(\,x\,\)をある実数に固定して\(\,y\,\)を実数全体で動かすことで，\(z\,\)を\(\,y\,\)のみの関数としてみなすことができるのです．こうして，\(-e^{-x^2}\leq z\leq e^{-x^2}\,\)という値域が最初に求まります．

その後，\(z=e^{-x^2}\,\)という関数を実数全体で調べることで，問題の\(\,z\,\)の値域が求められます．

part 3では，パラメータが２個で，さらに制限がかかっている場合を考えましょう．