今回は通過領域の問題に取り組みましょう．2つの例題を扱います．
part 5のポイント
- 通過領域の問題は，変数の片方を固定して，値域を出す（ファクシミリの原理）．
- 変数を固定した後に，もう片方の変数がパラメータの関数として簡単な形で表せるように，固定する変数を選ぶ．
例題１
$$実数\,t\,が，0≦t≦1\,の範囲を動くとき，放物線\,y=x^2-2tx+t\,が通過する領域を求めよ．$$
解答はこちら
\(k\) をある実数として，\(x=k\) と固定する．このとき，\(y=(1-2k)t+k^2\,\,\,(0≦t≦1)\) ．
\(f(t)=(1-2k)t+k^2\,\,\,(0≦t≦1)\) とおく．
(i) \(1-2k>0\) のとき，つまり \(k<\frac{1}{2}\) のとき
\(f(t)\) は単調増加なので，\(f(0)≦y≦f(1)\) ．よって，\(k^2≦y≦k^2-2k+1\) ．
(ii) \(1-2k=0\) のとき，つまり \(k=\frac{1}{2}\) のとき
\(f(t)=k^2\) より，\(y\) は \(k^2=\frac{1}{4}\) の値しかとらない．
(iii) \(1-2k<0\) のとき，つまり \(k>\frac{1}{2}\) のとき
\(f(t)\) は単調減少なので，\(f(1)≦y≦f(0)\) ．よって，\(k^2-2k+1≦y≦k^2\) ．
\(x=k\) を実数全体で動かし\(x\) の固定を外せば，(i)~(iii) より，求める範囲は下の赤色の領域であり，境界部（\(y=x^2\) の放物線と \(y=x^2-2x+1\) の放物線）を含む．
今回の例題では，パラメータが \(t\) ，求めたい変数は \(x,\,y\) です．
しかし，今までのような \(t\) から \(x\) や \(y\) に対応させる関数がありません．そもそも \(t\) が決まっても，\(x\) や \(y\) は一つには決まりません．パラメータによって，放物線が平行移動していくイメージですね．
このような場合でも，変数を1個固定することで，変数の数を減らしましょう．
ここで重要なのは，\(x\) と \(y\) のどちらの変数を固定するかということです．
\(x\) を固定した場合，\(y=(1-2x)t+x^2\) と \(y\) を \(t\) の一次関数としてみることができます．あとは，\(t\) の係数である \(1-2x\) の正負によって場合分けすればよいですね．
一方で ，\(y\) を固定するとどうでしょうか．この場合，\(x\) を \(t\) の関数として表すには，\(x\) の二次方程式 \(x^2-2tx+t-y=0\) を解く必要があり，\(x=t\pm \sqrt{t^2-t+y}\) と複雑な関数となってしまいます．この関数を \(0≦t≦1\) のもとで動かしたときの値域を求めるのは，できなくはないですがしんどいですね．
例題2
$$t\,が実数全体を動くとき，直線\,y=4(t-1)x-2t^2+1\,が通過する領域を図示せよ．$$
解答はこちら
\(k\) をある実数として，\(x=k\) と固定する．
このとき，\(y=-2t^2+4kt-4k+1=-2(t-k)^2+2k^2-4k+1\) ．
\(t\) が実数全体を動くとき，\(y\) は \(t=k\) で最大値 \(2k^2-4k+1\) をとり，\(y\) の値域は，\(y≦2k^2-4k+1\)．
\(x=k\) を実数全体で動かし，\(x\) の固定を外せば，求める領域は下の図の赤色の範囲で，境界部（ \(y=2x^2-4x+1\) の放物線）も含む．
この例題では，\(x\) を固定することにより，\(y\) は \(t\) の二次関数になります．\(t\) は実数全体を動き，\(t^2\) の係数は負なので，軸( \(t=k\) )で最大値をとります．
例題２で，もし \(y\) を固定した場合は，\(x=\frac{2t^2+y-1}{4(t-1)}\) という \(t\) の関数を調べる必要があります（ただし，分母が \(0\) にならないように \(t=1\) は場合分けしましょう）．
以上のように，変数を固定するときには，その後に調べる関数が簡単になるように，変数を選択しましょう．
今回のパートまでで，順像法での値域・領域の問題の取り組み方をある程度解説しました．次回は，考え方を180°転換し，逆像法について解説したいと思います．
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