値域・領域シリーズ part 8

逆像法では，パラメータの存在命題を作ったのちに，同値変形をする必要があります．

part8からは，この同値変形の特徴的なパターンについて解説します．

解答はこちら

求める値域を，\(I\) とする．

\(x\in I
\\[1.5em] \Longleftrightarrow \begin{cases} ab≧1 \\ x=a+b \end{cases} を満たす実数\,a,b\,が存在する
\\[1.5em] \Longleftrightarrow \,a(x-a)≧1 \,を満たす実数\,a\,が存在する\qquad (b=x-a\,と置けばよい）
\\[1.5em] \Longleftrightarrow \,a^2-x\cdot a+1≦0 \,を満たす実数\,a\,が存在する
\\[1.5em] \Longleftrightarrow (判別式\,D=)\,x^2-4≧0
\\[1.5em] \Longleftrightarrow \,x≦-2,\,2≦x\)

この問題は，part 3 で扱ったものと同じです．

逆像法で解くには，まず求める値域を \(I\) と文字で置き，求めたい変数 \(x\) が \(I\) に含まれていると仮定するのでしたね．そして，今回パラメータの条件は，\(ab≧1,\,x=a+b\) なので，これらを満たす実数 \(a,\,b\) が存在するという命題に変形します．

ここまでが，逆像法の定石です．

今回のテーマはその後の同値変形です．同値変形とは，命題と命題を必要十分な関係で結ぶことを指します．

ここで重要なのは，逆にも辿れる必要があるということです．

例えば，解答中で用いた次の変形は同値変形です．

$$ \begin{align}
& \begin{cases} ab≧1 \\ x=a+b \end{cases} を満たす実数\,a,\,b\,が存在する
\\[1em] \Longleftrightarrow\, & a(x-a)≧1 を満たす実数\,a\,が存在する
\end{align} $$

\(b=x-a\) が成り立っているので，\(ab≧1\) に代入して，\(〇〇〇\Longrightarrow×××\) の論理が成り立つことは容易に確認できます．

一方で，\(a(x-a)≧1\) を満たす実数 \(a\) が存在するとき，\(b=x-a\) と置けば，\(b\) はもちろん実数（下のコメントを参照）で，\(ab≧1,\,x=a+b\) の両方の式が成り立っていますね．つまり，\(〇〇〇\Longleftarrow×××\) の論理も成り立つということです．

このことからも，一般に等式（今回の \(b=x-a\) ）を用いて，パラメータに代入する操作は，同値変形になりますね．パラメータの数が多い時には，この考え方でパラメータを減らすことができますね．

次回は，パラメータが1個になったときに使える同値変形について解説します．