(1) 関数 \(f(\theta)=\sin\theta-\theta+\frac{\theta^3}{6}\) の区間 \(-1≦\theta≦1\) における最大値 \(M\) および最小値 \(m\) を求めよ．
(2) (1)で定めた \(M\) に対し，次の不等式を求めよ．
$$ \frac{7}{8} \pi ≦\int_0^{2\pi} \sin (\cos x-x)dx ≦\frac{7}{8} \pi +4M$$
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(1)
\(f'(\theta)=\cos \theta -1+\frac{1}{2}\theta^2\)
\(f^{\prime\prime}(\theta)=-\sin\theta+\theta\)
\(f^{(3)}(\theta)=-\cos\theta+1\)
\(|\theta|≦1(<\frac{\pi}{2})\) において，\(f^{(3)}>0\)．よって，\(f^{\prime\prime}(\theta)\) は単調増加．
| $$\theta$$ | $$-1$$ | $$\cdots$$ | $$0$$ | $$\cdots$$ | $$1$$ |
| $$f^{\prime\prime}(\theta)$$ | $$-$$ | $$\nearrow \\(-)$$ | $$0$$ | $$\nearrow \\(+)$$ | $$+$$ |
| $$f^{\prime}(\theta)$$ | $$+$$ | $$\searrow \\(+)$$ | $$0$$ | $$\nearrow \\(+)$$ | $$+$$ |
| $$f(\theta)$$ | $$最小値$$ | $$\nearrow$$ | $$0$$ | $$\nearrow$$ | $$最大値$$ |
これより，
$$\begin{alignat}{3}
m&=&f(-1) &=&-\sin1&+\frac{5}{6}
\\M&=&f(1)\, &=&\sin1&-\frac{5}{6}
\end{alignat}$$
(2)
\(
\begin{align}
&\int_0^{2\pi} \sin (\cos x-x)dx
\\[1.5em]=&\int_0^{2\pi} \{\sin(\cos x)\cos x-\cos(\cos x)\sin x\} dx
\\[1.5em]=&\int_0^{2\pi} \sin(\cos x)\cos x dx +\int_0^{2\pi} \cos(\cos x)(\cos x)^{\prime} dx
\\[1.5em]=&\int_0^{2\pi} \sin(\cos x)\cos x dx +\left[ \sin(\cos x) \right]_0^{2\pi}
\\[1.5em]=&\int_0^{2\pi} \sin(\cos x)\cos x dx
\end{align}
\)
ここで，\(g(x)=\sin(\cos x)\cos x\) と置くと，
\(
\begin{align}
g(x+\pi)=&\sin(\cos(x+\pi))\cos(x+\pi)
\\ =&\sin(-\cos x)(-\cos x)
\\ =&\sin(\cos x)(\cos x)=g(x)
\end{align}
\)
より，\(g(x)\) は，周期 \(\pi\) の周期関数．また，
\(
\begin{align}
g(\pi-x)=&\sin(\cos(\pi-x))\cos(\pi-x)
\\ =&\sin(-\cos x)(-\cos x)
\\ =&\sin(\cos x)(\cos x)=g(x)
\end{align}
\)
であることから，
\(
\begin{align}
&\int_0^{2\pi} g(x) dx
\\[1.5em]=&2\int_0^{\pi} g(x) dx
\\[1.5em]=&2\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} g(x) dx\right)
\\[1.5em]=&2\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(\pi-x) dx\right)
\\[1.5em]=&4\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx
\end{align}
\)
よって，示すべき不等式は，
$$\frac{7}{32}\pi ≦ \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx ≦ \frac{7}{32}\pi+M\qquad―(＊)$$
ここで，\(0≦x≦\frac{\pi}{2}\) において\(0≦\cos x ≦1\)なので，（1）より，\(0≦f(\cos x)≦M\)．
すなわち，
\(\cos x-\frac{1}{6}\cos^3 x≦\sin(\cos x) ≦ \cos x-\frac{1}{6}\cos^3 x+M\)
全辺に \(\cos x(≧0)\) を掛けて，
\(\cos x(\cos x-\frac{1}{6}\cos^3 x)≦g(x) ≦ \cos x(\cos x-\frac{1}{6}\cos^3 x+M)\)
これより，
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x(\cos x-\frac{1}{6}\cos^3 x) dx ≦ \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx ≦ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos x(\cos x-\frac{1}{6}\cos^3 x)+M\cos x \right) dx $$
この式が（＊）と一致することを示す．
ここで，\(\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x\) より，
\(
\begin{align}
&\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x(\cos x-\frac{1}{6}\cos^3 x) dx
\\[1.5em]=&\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\left(\cos x-\frac{1}{6}(\frac{1}{4}\cos 3x+\frac{3}{4} \cos x)\right) dx
\\[1.5em]=&\frac{7}{8}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx-\frac{1}{24}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos 3x dx
\\[1.5em]=&\frac{7}{8}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2x}{2} dx -\frac{1}{48}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos 4x+\cos 2x\right) dx
\\[1.5em]=&\frac{7}{8}\left[\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{48}\left[\frac{1}{4}\sin 4x+\frac{1}{2} \sin 2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}
\\[1.5em]=&\frac{7}{32}\pi
\end{align}
\)
\(
\begin{align}
&\int_0^{\frac{\pi}{2}} M \cos x dx
\\[1.5em] =&\left[M \sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}
\\[1.5em] =&M
\end{align}
\)
以上から，（＊）が示されて，問題の不等式も成り立つ．
(1) は流石に取りきりたいところです．一回の微分では増減が分からないため，何回か微分して正負を判断できるようにします．微分するたびに後ろの多項式の次数が落ちるので，3階微分で正負の判断ができますね．
背景にあるのは，\(\sin \theta\) という関数のテイラー展開で，テイラー展開とは，一般の関数（ある程度の制約はある）を多項式で近似していくようなイメージです．\(\theta=0\) 付近では，\(\sin \theta\) は \(\theta-\frac{1}{6}\theta^3\) に三次近似されます．
(2) では，\(\sin(\cos x-x)\) を加法定理を用いて分解できるかが，最初の山場です．これは，(1) で，\(-1≦\theta≦1\) という範囲に注目して，\(\theta=\cos x\)，つまり，\(\sin(\cos x)\) という形を作りたいと思えるといいですね．といっても，かなり無理がある要求です．
積分や極限の不等式評価の問題は，そのような些細な設定もヒントになりうるので注意しましょう．
加法定理を用いて分解していき，最後に \(\sin (\cos x) \cos x\) という関数の周期性・対称性に着目して，積分範囲を 0 から \(\frac{\pi}{2}\) にしましょう．
なんとかここまでできれば，あとは（1）の三次近似を用いながら，計算していくだけです．
計算量が多く，時間がかなり取られるかもしれません．しかし，2026の全体の難易度を鑑みると，方針が見えさえすれば取り得な問題と言えるでしょう．
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