値域・領域シリーズ part 3

今回は，2つの例題を用いて，パラメータの範囲に条件がある場合の，値域を求める問題に取り組みましょう．

$$実数\,a,b\,が，ab=1\,を満たしながら動くとき，\\x=a+b\,の取りうる値の範囲を求めよ．$$

解答はこちら

$a=0\,$のとき，$ab=1\,$を満たす実数$\,b\,$は存在しないので，$a\ne 0\,$.

$a\,$を$\,0\,$でない実数で固定する．

$ab=1\,$より，$b=\frac{1}{a}\,$. よって，$x=a+\frac{1}{a}\,\,\,(a\ne0)$ .

$f(a)=a+\frac{1}{a}\,$とおくと，

$$f'(a)=1-\frac{1}{a^2}=\frac{(a-1)(a+1)}{a^2}$$

$f'(a)=0\,$となるのは，$a=\pm 1$ .

増減表は，

また極限が，

$$\lim_{a\to-\infty}f(a)=-\infty,\lim_{a\to\infty}f(a)=\infty\\\lim_{a\to-0}f(a)=-\infty,\lim_{a\to+0}f(a)=\infty$$

以上から，$x=a+\frac{1}{a}\,\,\,(a\ne0)\,$の値域は，

$x≦ -2,2≦ x$

この例題では，$a,b$ がパラメータで，$x$ が求めたい変数ですね．

ただし，パラメータに $ab=1$ という条件が与えられています．part2 の例題が実数全体であったのと比較すると，イメージは下のようになります．

パラメータが2個なので，片方の変数（ここでは $a$ )を固定して変数の数を減らしましょう．

ここで注意したいのが，$a$ が $0$ になることはないということです．なぜなら，二つのパラメータ $a,b$ というのは，先ほどの図の青い曲線上しか動かないからです．

変数を固定する前には，その変数の動く範囲を確認するようにしましょう．

これさえ注意すれば，$a$ を固定したことにより，$b=\frac{1}{a}$ になり $b$ の値が一つに決まってくれます．

あとは $x$ が $a$ のみの関数として表せるので，微分して増減表を書くという基本の流れで解きましょう．

$$実数\,a,b\,が，ab≧1\,を満たしながら動くとき，\\x=a+b\,の取りうる値の範囲を求めよ．$$

解答はこちら

$a=0\,$のとき，$ab≧1\,$を満たす実数$\,b\,$は存在しないので，$a\ne 0\,$.

(i) $a$ を $0$ より大きい実数で固定する場合（ $a>0$ )

$ab≧1$ の両辺を $a(>0)$ で割って，$b≧\frac{1}{a}$

よって，$x$ の値域は，$x≧a+\frac{1}{a}$

(ii) $a$ を $0$ より小さい実数で固定する場合（ $a<0$ )

$ab≧1$ の両辺を $a(<0)$ で割って，$b≦\frac{1}{a}$

$x$ の値域は，$x≦a+\frac{1}{a}$

$f(a)=a+\frac{1}{a}$ として，増減を調べる（例題1と同じ）．

(i),(ii)より，$x$ の動く範囲は，

よって，$x≦-2, 2≦x$

例題１と形は似ていますが，今回は $a$ を一つの実数に固定しても，$b$ の値は一つに決まりません．

例題２も例題１と同様に $a\ne0$ です．そして，$a$ を固定すると，それに伴って $b$ の範囲が制限されます．

ここで場合分けが必要で，$a>0$ の時は $b≧\frac{1}{a}$ ，$a<0$ の時は $b≦\frac{1}{a}$と範囲が制限されます．

また，$a$ を固定しているので，$x=a+b$ は $b$ の一次関数（直線）とみなせます．先ほどの $b$ の制限のもと，$x$ の値域を出しましょう．

その後，$x=a+\frac{1}{a}$ のグラフを調べることで最終的に $x$ の値域を求めることができます．

今回は，パラメータの範囲に条件が与えられる場合を扱いました．そのような場合には，片方の変数を固定した時に，もう片方の変数の値が一つに決まったり，範囲が制限されたりします．

次回は，これまでの考え方を用いて領域の問題に取り組んでみましょう．

今回の例題は，逆像法で解くほうが楽です．後々扱う予定です．
$a+\frac{1}{a}$ から相加相乗平均を思い浮かべるかもしれませんが，値域を求める時には向かない考え方です．というのも，$a>0$ の場合の最小値 $2$ は求まりますが，$2$ 以上のすべての実数値をとる保証がされないためです．