これまでは，「順像法」について扱ってきましたが，「順像法」のみでは解くことが難しいような問題があります．
そのような場合に有効な考え方が，「逆像法」です．
part 6 のポイント
- 「逆像法」では，パラメータを動かすのではなく，条件を満たすパラメータが存在するという命題をつくる．
- パラメータの和と積が分かっているときには，解と係数の関係を使うと良い．
part 3 で扱った次の例題を再度考えましょう．
例題
$$実数\,a,\,b\,が，ab=1\,を満たしながら動くとき，\\x=a+b\,の取りうる値の範囲を求めよ．$$
解答はこちら
\(x\) の取りうる値の範囲を \(I\) とする．
\(x \in I \)
\( \Longleftrightarrow \,\begin{cases} ab=1\\a+b=x \end{cases}\,を満たす実数\,a,\,b\,が存在する \)
\( \Longleftrightarrow \,t\,についての二次方程式\,t^2-x\cdot t+1=0\,が実数解のみを持つ\)
\( \Longleftrightarrow \,判別式\,D=x^2-4\,が\,0\,以上\)
\(\Longleftrightarrow \,x≦-2,\,2≦x\)
part 3 の解答に比べてかなりシンプルですね．逆像法が最大に発揮されています．
それでは，逆像法について解説します．
順像法では，パラメータから求めたい変数に写す関数を，微分などを用いて解析的に調べることによって，求めたい変数の値域を出します．パラメータを動かすイメージですね．また，一個の変数の関数にするために，変数の固定も行います．
一方で，逆像法では，パラメータを動かすのではなく，求めたい変数を仮に決めたときに，「その値に写るようなパラメータが存在するか？」ということを調べます．
例に \(x=2\) を考えてみましょう．すると，\(a=1\)，\(b=1\) の時に，\(ab=1,\,a+b=2\) を満たすので，\(2\) は求めたい値域に含まれていることが分かります．
一般に考えると，\(x\) が求めたい値域 \(I\) に含まれていることは，\(ab=1,\,a+b=x\) を満たす実数 \(a,\,b\) が存在する，と言い換えられます．
このように，逆像法で考える時には，求めたい値域に含まれていることを仮定して，条件を満たすようなパラメータが存在する，という存在命題を作りましょう．
この考え方を用いれば，今回の例題では，積が \(1\) ，和が \(x\) となるような実数 \(a,\,b\) が存在するという命題になります．和と積が分かっているので，二次方程式の解と係数の関係を使いましょう．適当に変数 \(t\) を用意して，\(t\) の二次方程式 \(t^2-x\cdot t+1=0\) が実数解を持てば，その解が \(a,\,b\) となりますね．
今回は，逆像法について解説しました．いままでの解法と比べると異質に感じるかもしれませんが，身につけるとかなり便利な道具（難関大志望であれば身につけているべき道具）なので慣れていきましょう．
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